2020全国硕士研究生入学考试《数学2》真题
- 推荐等级：
- 发布时间：2021-12-30 16:26
- 卷面总分：19分
- 答题时间：240分钟
- 试卷题量：19题
- 练习次数：3次
- 试卷分类：数学二
- 试卷类型：历年真题
试卷预览
设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值－1的特征向量，则满足
的可逆矩阵P为（ ）。- 查看答案开始考试
正确答案：D
本题解析：
a1，a2是A属于特征值1的线性无关的特征向量，即Aa1＝a1，Aa2＝a2，故A（a1＋a2）＝a1＋a2，即a1＋a2也是A属于特征值1的特征向量。
设k1（a1＋a2）＋k2a2＝0，即k1a1＋（k1＋k2）a2＝0，
由于a1，a2线性无关，故k1＝k2＝0，即a1＋a2，a2线性无关。
a3是A属于特征值－1的特征向量，即Aa3＝－a3，因此A（－a3）＝－（－a3），即－a3也是A属于特征值－1的特征向量。
可取P＝（a1＋a2，－a3，a2），则P是可逆矩阵，且满足
。故应选D项。
设4阶矩阵A＝（aij）不可逆，元素a12对应的代数余子式A12≠0，a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，A＊为A的伴随矩阵，则A＊x＝0的通解为（ ）。
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正确答案：C
本题解析：
由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a12对应的代数余子式A12≠0，故r（A）≥3，从而r（A）＝3。
由
可知r（A＊）＝1。
故A＊x＝0得基础解系含有3个解向量。
因a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，则a1，a3，a4可看作A12对应矩阵列向量组的延长组，故a1，a3，a4线性无关。
又A＊A＝A＊（a1，a2，a3，a4）＝｜A｜E＝0，故a1，a3，a4均为A＊x＝0的解。
综上，a1，a3，a4为A＊x＝0的一个基础解系，故A＊x＝0得通解为x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数。
故应选C项。
设函数f（x）在区间[－2，2]上可导，且f′（x）＞f（x）＞0，则（ ）。
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正确答案：B
本题解析：
因f′（x）＞f（x）＞0，f′（x）－f（x）＞0，从而e－x[f′（x）－f（x）]＞0，即[e－xf（x）]′＞0。
从而e－xf（x）在[－2，2]上单调递增，故e－0f（0）＞e1f（－1），得f（0）＞ef（－1）。
又f（x）＞0，故f（0）/f（－1）＞e，故应选B项。
由e－1f（1）＞e1f（－1），得f（1）/f（－1）＞e2，选项C错误；
由e－2f（2）＞e1f（－1），得f（2）/f（－1）＞e2，选项D错误；
对于选项A，因f′（x）＞0，故f（x）单调递增，从而f（－1）＞f（－2），得f（－2）/f（－1）＜1，选项A错误。
，则f（x）第二类间断点的个数为（ ）。
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