2013全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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单选题

矩阵与相似的充分必要条件为（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

由于A和B相似，则A和B的特征值相同。∴A和B的特征值为λ1＝0，λ2＝b，λ3＝2。∴

∴a＝0。且R（A）＝R（B），

当a＝0，b为任意常数时，有R（A）＝R（B）。反之当b为任意常数，a＝0时，有A和B相似。

单选题

设A，B，C均为n阶矩阵，若AB＝C，且B可逆，则（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

A（β1，β2，…，βn）＝（γ1，γ2，…，γn），Aβi＝γi（1≤i≤n），即C的列向量组可由A的列向量组线性表示。∵B可逆，∴A＝CB－1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示。矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组能相互线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价。

单选题

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正确答案：B

本题解析：

单选题

设函数

若反常积分收敛，则（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

考虑积分

当α－1≤0，即α≤1时，为普通积分，积分自然存在；当α－1＞0时，为无界函数的反常积分。且当α－1＜1，即α＜2时收敛，当α－1≥1，即α≥2时发散。

无穷区间上的反常积分

当α＞0时，此反常积分收敛，α≤0时发散。由以上分析知，若反常积分收敛，则有0＜α＜2，因此选择D项。

单选题

设函数y＝f（x）由方程cos（xy）＋lny－x＝1确定，则＝（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

由方程cos（xy）＋lny－x＝1，可解出当x＝0时，y＝1。在方程两端对x求导，有

{图

}∴

单选题

设cosx－1＝xsinα（x），其中|α（x）|＜π/2，则当x→0时，α（x）是（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

单选题

设

其中函数f可微，则（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

由有

所以

单选题

设函数

则（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

由定积分的几何意义知，F（π－0）＝F（π）＝F（π＋0），所以F（x）在x＝π处连续。而

∵F－′（π）≠F＋′（π），∴F（x）在x＝π处不可导。故F（x）在x＝π处连续但不可导。

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