函数单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的一个重要性质。
(1)请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程中函数单调性与哪些内容有关 (至少列举两项内容)。(7 分)
(2)请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。(8 分)
正确答案及解析
正确答案
解析
(1)设?(x)为定义在 D 上的函数，任意的 x1，x2∈D，若 x1＞x2，就有?(x1)> ?(x2)，则称函数?(x)为 D 上的严格单调 递增函数。函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质 中有重要应用(内部)；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部)。 可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位。 (2)定义法：定义域中任意 x1，x2，若 x1＞x2，有?(x1)> ?(x2)(或?(x1)＜?(x2))，则称函数?(x)在定义域上严格单调 递增(或递减)。定义法判断函数单调性比较适应于对定义域内任意两个数 x1，x2，当 x1＞x2，容易得出?(x1)与?(x2) 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，这种方法思路比较清晰，但是对待一些不太容易判断出 ?(x1)- ?(x2)正负的情况，用定义法解析比较麻烦。 导数法：一般先确定函数的定义域，求出原函数的导数?′(x)，若导数?′(x)≥0，则是函数在定义域内单调递增， 反之则单调递减。导数法适用于函数在其定义域内可导且能判断导函数与零的大小关系的情形。针对定义法解决不 了的题型，或者用定义法解题相对比较繁琐，用导数法解题就会比较简单。导数法提供了一种重要的解题思想。