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设A为3阶矩阵,a1,a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,a3为A的属于特征值-1的特征向量,则满足数学三,历年真题,2020年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题得可逆矩阵P为(  )

  • A.(a1+a3,a2,-a3)
  • B.(a1+a2,a2,-a3)
  • C.(a1+a3,-a3,a2)
  • D.(a1+a2,-a3,a2)

正确答案及解析

正确答案
D
解析

a1,a2是A属于特征值1的线性无关的特征向量,即Aa1=a1,Aa2=a2,故A(a1+a2)=a1+a2,即a1+a2也是A属于特征值1的特征向量。

设k1(a1+a2)+k2a2=0,即k1a1+(k1+k2)a2=0,

由于a1,a2线性无关,故k1=k2=0,即a1+a2,a2线性无关。

a3是A属于特征值-1的特征向量,即Aa3=-a3,因此A(-a3)=-(-a3),即-a3也是A属于特征值-1的特征向量

可取P=(a1+a2,-a3,a2),则P是可逆矩阵,且满足。

数学三,历年真题,2020年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题

故应选D项。

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