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设4阶矩阵A=(aij)不可逆,元素a12对应的代数余子式A12≠0,a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵,则A*x=0的通解为(  )

  • A.x=k1a1+k2a2+k3a3,其中k1,k2,k3为任意常数
  • B.x=k1a1+k2a2+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数
  • C.x=k1a1+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数
  • D.x=k1a2+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数

正确答案及解析

正确答案
C
解析

由A不可逆知,r(A)<4,又元素a12对应的代数余子式A12≠0,故r(A)≥3,从而r(A)=3。

数学三,历年真题,2020年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题,可知r(A*)=1。

故A*x=0的基础解系含有3个解向量。

因a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组,则a1,a3,a4可看做作A12对应矩阵列向量组的延长组,故a1,a3,a4线性无关。

又A*A=A*(a1,a2,a3,a4)=|A|E=0,故a1,a3,a4均为A*x=0的解。

综上,a1,a3,a4为A*x=0的一个基础解系,故A*x=0得通解为x=k1a1+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数。

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