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在学习“平面向量”后，某数学教师安排了如下一道选择题：

若非零向量 a，b 满足|a-b|=|b|，则（）

A．|2b|>| a-2b|

B．|2b|＜|a-2b|

C．|2a|>|2a-b|

D．|2a|＜|2a-b|

以下是三位学生的解法：

学生 1：已知|a-b|=|b|，则 a-b=±b，又因为 a 是非零向量，可知 a=2b。因此选 A。

中学数学学科知识与教学能力,历年真题,2017年上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）真题

问题： (1)如果你是这位数学老师，请指出这二种解法存在的错误；(9 分) (2)请你从已知条件|a-b|=| b |出发，通过数形结合，引导学生给出一种正确的解法；(5 分) (3)针对学生在向量运算中的错误，请写出实数运算与向量运算的不同点(至少写出三点)。(6 分)

正确答案及解析

正确答案

解析

(1)学生 1 在解答过程中只关注了 a-b 与 b 同向或反向时，在两个向量模长相等时 n 与 b 满足的关系，但是忽略了 a-b 与 b 两个向量不共线的情况。学生 2 在解答过程中虽然注意到向量模长的性质，即|a|2=a·a，但是在化简过程中把向量的数量积与实数的乘法产生了混淆。学生 3 在解答过程中忽略了向量数量积的性质，即 a·b=| a|·| b|cosθ，其中θ为两向量的夹角。 (2)向量的线性运算不仅涉及向量的长度还涉及向量的方向，因此提出以下问题串引导学生思考：问题 1：向量在进行线性运算加减法的时候，满足什么样的运算法则呢? 问题 2：三角形法则与平行四边形法则，两种法则在计算过程中应根据向量的何种特征进行合理地选择呢? 问题 3：现在我们将 a 与 b 分两种情况进行讨论：①两向量共起点时，②两向量首尾相连时，两种情况下分别对两个向量进行减法的线性运算。现在大家动起手来一起在纸上画一画 a 与 b 满足何种位置关系时，能够使得|a-b|=|b|。我们又可以借助哪些特殊的图形对两个向量的位置关系进行描述呢? 问题 4：两种情况最终都可以用等腰三角形这样的图形进行概括描述，如图，在等腰三角形 ABC

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那么接下来，大家继续借助等腰三角形 ABC，在其基础上画出 2b 与 a-2b，那么你可以发现什么结论呢?继续画出 2a 与 2a-b，那么你又可以发现什么结论呢? 结论：根据三角形内任意两边和大于第三边可以得出| 2b|>|a-2b|，2a 与 2a-b 的关系无法判断，应选 A。 (3)向量运算与实数运算的本质区别在于，向量运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向。向量的线性运算与实数运算虽然在运算过程中均满足：交换律、结合律、分配律，但是向量线性运算结果为向量，实数的运算结果为实数。向量的数量积与实数运算虽然在运算过程中均满足：交换律、分配律且运算结果均为实数，但实数的乘法满足消去律，向量的数量积则不满足。在实数运算中若 a≠0 且 ab=0 则 b=0，但在向量运算中若 a≠0 且 a·b=0，则有两种情况 b=0 或 a⊥b。