针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下： ①进一步了解一元二次方程的概念； ②进一步理解一元二次方程的多种解法(配方法、公式法、因式分解法等)； ③会运用判别式判断一元二次方程根的情况： ④通过对相关问题的讨论，在理解相关知识的同时，体会数学思想方法，积累数学活动经验。
问题： 根据上述教学目标，完成下列任务：
(1)为了落实上述教学目标①、②，请设计一个教学片段，并说明设计意图；(18 分) (2)配方法是解一元二次方程的通性通法，请设计问题串，以帮助学生进一步理解配方法在解一元二次方程中的作 用。(12 分)
正确答案及解析
正确答案
解析
(1)一、复习回顾
1．回顾一元二次方程与一元一次方程有什么区别?它们有什么共同点?
列出一些方程，与学生一起将方程分类
要求：(1)引导学生观察回顾方程的特点；(2)通过对比复习一元一次方程定义和一元二次方程定义；(3)强调定义中体现的 3 个特征：①整式；②一元；③2 次。
2．要求学生用最顺手的方法解下列方程
思考：(1)方程具备什么特点做起来最顺手?(2)以上方程你选取了哪些方法?
二、习题教学
例题 1：方程(m+2)x
|m|+3mx+1=0 是关于 x 的一元一次方程，m 的值为()；若是关于 x 的一元二次方程，m 的值为()。
师生活动：教师出示问题，学生独立思考、回答。为了帮助学生有逻辑的思考，可追问以下问题。
追问 1：一元一次方程的一般式是什么?m 需要满足什么条件?
追问 2：一元二次方程的一般式是什么?由此你能给出 m 需要满足的条件吗?
追问 3：我们还学过哪种整式方程?写出一般式．比较你所学过的各种整式的方程．说明它们的未知数个数与次数。设计意图：学生要会辨析几种整式方程的概念，分析出符合定义的未知数的次数。通过此题引导学生进一步理解一元二次方程的概念及一般式，回顾已学的其他整式的方程，加强知识的前后联系，帮助学生建立有关方程的知识体系。
例题 2：解方程：x
2-2x+1=25。你能给出哪些解法?你认为哪种解法最适合本方程?
师生活动：教师出示问题，学生独立思考、解答、展示。教师反馈并提出以下问题。
追问 1：一元二次方程有哪些解法?他们在什么情况下最适用?
追问 2：这几种解法之间有何联系?在基本思想上有何共同点?
设计意图：本题主要复习一元二次方程的解法，通过比较不同的解法，体会如何根据方程特点选择解法。方程左边可以写成完全平方式，所以可用配方法；也可将方程整理成一般式，用公式法；还可以用因式分解法。让学生深入思考这几种解法之间的联系。体会配方法的重要意义以及“降次”的基本思想。
(2)问题：解方程 x
2-120x+3456=0。
追问 1：有的同学说可以通过十字相乘法分解，大家可以试试?你发现了什么?
学生回答：3456 数字太大，十字相乘法分解时，不能一次分解到位，尝试多次才成功；部分同学到时间结束还没能分解出正确的结果。
追问 2：数字太大，需要试验多次，降低了我们的速度，还有其他的方法吗?
学生回答：我们换其他的方法(有些同学选择用公式法，有些同学选择用配方法)，在一种方法不能顺利的解决问题时，就应该使用其他方法尝试一下。
追问 3：我们试验了十字相乘法、公式法、配方法，哪种方法最简单呢?
学生回答：针对这个题目，用配方法最简单，十字相乘法在数字太大时分解太困难，公式法对于这个题目计算量也太大，配方法是最为简单、直观的。
追问 4：配方法是不是适用于所有的一元二次方程呢?
学生回答：我们之前讲过，解一元二次方程，首先要判断该方程是否有解，对于有解的一元二次方程全部都能用公式法进行求解。而公式法所用的公式，是由配方法经过推导得到的，故配方法也适用于全部有解的一元二次方程。
追问 5：哪些情况下用配方法最为简单呢?
学生回答：形如 x
2+2ax+b=0(a，b 为整数)，这类的一元二次方程配方时最为简单，选择解法时可优先选择配方法。
包含此试题的试卷
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材料二某版本教课书中关于“严重的水土流失”的有关内容。
严重的水土流失
从图6.31可以看出,黄土高原的地表千沟万壑、支离破碎。这与我们通常所说的一望无际、平坦宽阔的高原景象大不相同。造成这种状况的主要原因,就是这里长期的水土流失。
黄土高原是世界上水土流失最严重的地区之一。这里的自然植被遭到破坏,疏松的黄土在缺少植被保护的情况下,很容易引起水土流失。特别是每遇暴雨,泥沙俱下,水土流失尤为严重。造成这里水土流失的原因,既有自然原因,也有人为原因(图6.32)。
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