设p>0是一常数，过点Q（2p，o）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）。
证明：抛物线顶点在圆H的圆周上。
正确答案及解析
正确答案
解析
①当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p，代入y2=2px得y2=4p2，y=±2p，所以|AB|=|y1－y2|=4p，显然，满足
，此时Q、H重合，所以点O在
H上。
②若直线AB与x轴不垂直，则直线AB的斜率存在，设其倾斜角为α，则直线AB的方程为y=tanα（x－2p），将
代入得
，即tanα·y2－2py－4p2tanα=0。此方程有两个不同实根y1，y2，所以
，y1y2=－4p2
∵
，
∴
O点在以AB为直径的圆上，综上，可知O一定在
H上。
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