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如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD，AD⊥DC，AB∥DC。

（1）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；

（2）求二面角A1—BD—C1的余弦值。

中学数学学科知识与教学能力,专项训练,数学学科知识

正确答案及解析

正确答案

解析

（1）连结BE，则四边形DABE为正方形，所以BE=AD=A1D。，且BE//AD//A1D。所以四边形A1D1EB为平行四边形，所以D1E∥A1B。因为D1E 中学数学学科知识与教学能力,专项训练,中学数学学科知识与教学能力平面A1BD，A1B平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD。

（2）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），c。（0，2，2），Al（1，0，2），所以中学数学学科知识与教学能力,专项训练,中学数学学科知识与教学能力

设n=（x，y，z））为平面A1BD的一个法向量，由中学数学学科知识与教学能力,专项训练,中学数学学科知识与教学能力得，取z=1，则n=（-2，2，1）。又设m=（x1，y1，z1）为平面C1BD的一个法向量，由，由，得，取z1=1，则m=（1，-1，1）。，由于该二面角A1-BD-C1也为锐角，所以所求的二面角A1BD—C1的余弦值为中学数学学科知识与教学能力,专项训练,中学数学学科知识与教学能力。