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上课时，教师用几何画板任意画了一个锐角，提出问题1：任意画一个锐角a，借助三角板，找出sina，cosa，tana的近似值。然后走进学生中间，观察他们的学习行为，结果发现，有一部分同学画出角之后，一片茫然，教师又不愿意把结果告诉学生，提示同桌的两位同学可以商量一下，并提示完成的同学举手示意，以便教师了解情况，结果举手的人很少。之后，教师提问一位举手的学生，问：“你是怎么做的?”她要求上黑板，教师非常赞成。她在黑板上画出一个直角三角形，并不熟练地写出一个锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数。之后，教师又与学生讨论了问题2：能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到?学生一致认为把斜边长画成单位长比较好，为“单位圆定义法”做必要的铺垫。接着讨论问题3：锐角三角函数sina作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么?在教师类比正方形的面积S=a2的提示下，学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值。最后讨论问题4：你产生过这个疑问吗，三角函数只有这三个?有学生举手，表示想过这个问题，应该是六个，另外三个可以把现有的三个作倒数得到。至此，时间已经过去20多分钟。

问题：

（1）案例中教师上课过程出现了问题，请说出问题出在哪里?（10分）

（2）针对该教师的问题，你认为他该怎么改进教学。（10分）

正确答案及解析

正确答案

解析

(1)问题在于教师没有准确把握学生的知识基础与认识能力，对学生在学习中可能出现的困难估计不足，尤其是对学生关于锐角三角函数的理解估计过高。主要表现在两个方面，一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的，并不要求给出一个锐角，两边是射线，求出它的三角函数值；二是并不要求把“锐角三角函数”作为函数来认识，比如关注它的自变量是角，对应的函数值是比值，更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素，只要求运用符号sina，cosa，tana的意义来进行有关的计算等。现在，要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念就失去了概念的上位支持。

(2)案例中教师以为学生已经学习过锐角三角函数，就能够把它理解为一种特殊的函数，造成了教学过程中不了解学生知识基础，上课被动，完不成教学任务的情况，这就是一个疏于了解学生的明显的例子。作为高中教师，应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，关注学生的认知结构。应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫。