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设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=（1，-1，1）T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵，求B的全部特征值与特徊向量。

正确答案及解析

正确答案

解析

中学数学学科知识与教学能力,章节练习,基础复习,高级中学练习

B的特征向量。B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，所以B的全部特征值为-2，1，1。由前述可知，α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量，而A为实对称矩阵，于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，而实对称矩阵属于不同的特征值的特征向量正交，故可设B的属于1的特征向量为（x1，x2，x3）T，所以有方程x1-x2+x3=0，求得B的属于1的特征向量为β2=（-1，0，1）T，β3=（1，1，0）T。因而，矩阵B属于特征值-2的特征向量是k1（1，-1，1）T，其中k1是不为零的任意常数。矩阵B属于特征值1的特征向量是k2（-1，0，1）T+k3（1，1，0）T，其中k2，k3是不为零的任意常数。