数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究-名校题库网

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数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。

请针对“互为反函数的两个函数图像间的关系”这一课题，完成下列教学设计：

（1）请写出本节课的教学目标；

（2）请写出本节课的教学重点；

（3）请设计一个探究式教学过程。

正确答案及解析

正确答案

解析

（1）教学目标

①了解互为反函数的两个函数图像间的关系，理解互为反函数的两个函数图像关于y=x对称的原理；

②在探究互为反函数的两个函数图像间的关系的过程中增强发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，增强通过探究活动学习数学知识的经验；

③通过探究活动感悟数与形的转化，体会数形结合的思想，感受数学的对称之美。

（2）教学重点：通过探究活动使学生知道互为反函数的两个甬数图像之间的关系。

（3）教学过程

一、活动探究

探究一：互为反函数的两个函数的定义域和值域的关系一

问题1：你能写出两个互为反函数的函数吗?

问题2：指数函数y=2x和对数函数y=log2x互为反函数，它们的定义域和值域分别是什么?它们的定义域和值域有怎样的关系?

学生活动：先小组交流自己的答案，然后学生汇总结论向教师汇报。

学生汇报结果后，教师小结：指数函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），对数函数y=log2x的定义域为（0，+∞），值域为R。由此可以看出，指数函数y=2x的定义域和值域分别是对数函数y=log2x的值域和定义域。

探究二：指数函数y=2x与对数函数y=log2x图像间的关系。

问题l：你能在一个坐标系内同时画出函数y=2x与y=log2x的图像吗?

学生活动：学生在自己准备的白纸上尝试画出函数y=2x与y=log2x的图像。

问题2：你是怎样作图的?你画出的图像和老师的一样吗f（课件出示正确图像）

学生活动：学生小组内交流自己的画图方法，相互评价优缺点，教师告知学生自己的画图方法，让学生与自己的画图法比较、分析。

问题3：取y=2x图像上的几个点，如中学数学学科知识与教学能力,章节练习,基础复习,高级中学练习，P2（0，1），P3（1，2）。P1，P2，P3关于直线y=x的对称点的坐标是什么?它们在y=log2x的图像上吗?

学生活动：学生先口头回答对称点的坐标是什么，然后在图上找出P1，P2，P3关于直线y=x的对称点中学数学学科知识与教学能力,章节练习,基础复习,高级中学练习。

教师总结：通过画图作点，能够发现，P1，P2，P3关于y=x的对称点中学数学学科知识与教学能力,章节练习,基础复习,高级中学练习，（1，0），（2，1）在y=log2x的图像上。

问题4：如果点P0（x0，y0）在函数y=2x的图像上，那么P0关于直线y=x的对称点是什么?它在函数y=log2x的图像上吗?为什么?

学生活动：教师引导学生根据解答问题3时使用的方法来分析思考问题4的解答，各小组合作完成对问题4的解答，并汇报所得结论。

教师对学生的回答进行点评，教师订正：利用对称性可知，点P0（x0，y0）关于直线y=x的对称点坐标为中学数学学科知识与教学能力,章节练习,基础复习,高级中学练习（y0，x0），因为当y0=2x0时，x0=log2y0，即点（y0，x0）在函数y=log2x的图像上。

问题5：根据上述探究过程，你可以推出什么结论?

学生活动：让学生分组合作，讨论交流，最后进行分组汇报。

教师对各组同学得出来的结论进行点评，引导同学们得出结论：①函数y=2x图像上的点关于直线y=x的对称点在函数y=log2x的图像上；②函数y=2x的图像与函数y=log2x的图像关于直线y=x对称。

探究三：互为反函数的两个函数图像之间的关系。

问题1：上述结论对于指数函数y=ax（a>0，a≠1）及对数函数y=logax（a>0，a≠1）的图像也成立吗?为什么?

学生活动：学生自主猜想，并小组内讨论可行的验证方法来验证猜想。

教师引导学生进行合理的猜想，引导如下：设P0（x0，y0）在函数y=ax（a>0，a≠1）上，由对称性可知，P0（x0，y0）关于直线y=x的对称点坐标为中学数学学科知识与教学能力,章节练习,基础复习,高级中学练习（y0，x0），由y0=ax0，则有x0=logay0，即点（y0，x0）在函数y=logax的图像上，所以两图像关于直线y=x对称。