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通过直观感知、概括归纳出平面向量的基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2。请完成下列任务：

（1）请设计一个探索该定理的教学过程，并说明设计意图；

（2）请设计一个习题（不必解答），帮助学生进一步巩固该定理，并说明设计意图；

（3）你认为平面向量的基本定理在高中数学课程中占有怎样的地位和作用?

正确答案及解析

正确答案

解析

（1）教学过程

一、复习旧知、铺垫新课

如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点E，点F为线段AD的中点，

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【设计意图】复习向量的线性运算，可以帮助学生在巩固旧知的基础上，建立起新旧知识之间的联系；结合例题。可以帮助学生初步感知用给定的向量表示平面内的其他向量的方法，从而为新知的教学做铺垫。

二、教师设问、学生猜想

教师：我们可以发现通过平面内两个给定向量的线性运算，可以表示出许多不同的向量，那么我们想通过线性运算表示某些向量，必须给定两个向量吗?

学生思考并回答。（注意特殊情况：零向量）

提问：通过平面内两个给定向量的线性运算可以表示多少向量?

学生猜想并回答。

教师引导学生正确猜想：通过同一平面内两个不共线向量的线性运算可以表示这一平面内任意一个向量。

【设计意图】回忆数乘向量的几何意义和平行向量基本定理，说明当给定的两个不全为零的向量共线时，只能表示与他们共线的向量，从而形成定理中的“不共线”；当给定的两个向量不共线时，只能表示与他们共面的向量，从而形成定理中的“这一平面内”。由猜想是否成立，引出课题。

三、课堂实践、完善定理

探究1．教师出示课件，给定一组不共线的向量e1，e2（共起点），待分解的向量a，请学生在黑板上作图，并试着说明作图过程及能够用e1，e2的线性运算来表示的原因。

教师引导学生通过物理学中力的分解来完成。

【设计意图】基底共起点的情况使学生更容易想到逆用平行四边形法则进行分解；通过较简单情况下向量a的分解，让学生体会将向量a用不共线向量e1，e2的线性运算进行表示的方法和依据。

探究2．当向量a可以用不共线向量e1，e2的线性运算进行表示时，不改变向量的方向，只改变向量的大小，验证分解的存在性。

①从形的角度来看，可以先想象再配合几何画板直观观察分解的存在性。

②从数的角度思考，由平行向量基本定理，与向量a方向相同的向量一定可以写成舢，a=λ1e1+λ2e2，那么ma=mλ1e1+mλ2e2。

【设计意图】形的角度更加直观，数的角度更为严谨，潜移默化地使学生体会到向量是有着数、形两种属性的数学对象。

探究3．向量a绕其起点旋转，随着旋转，向量a的分解方法有什么不同吗?有哪些情况?请同学画出代表不同情况的向量，对它们分别进行研究，找到一般方法，验证任意性，同时利用几何画板进行动态演示，直观确认任意性。

【设计意图】培养学生分类讨论的意识，从分解出的向量与基底方向的关系到线性运算中系数的符号，为后续课程中建立坐标系，划分象限埋下伏笔；对向量a与e1，e2其中一个共线情况的讨论，为后面分析平面向量基本定理与共线向量基本定理之间的联系做铺垫。

问题1：我们定性地说明了满足要求的实数λ1，λ2存在，那么到底存在多少组呢?

问题2：得到的“平面向量的基本定理”与平行向量的基本定理有什么联系?

【设计意图】培养学生的逻辑思维能力，使学生进一步体会向量是集数、形于一身的数学概念；理解当基底选定后，平面内的任意向量与有序实数对（λ1，λ2）一一对应。

完善定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a存在唯一一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。

四、课堂小结

教师：这节课，我们从一个具体问题的探究开始提出我们的猜想，一步一步地完善我们定理的证明。平面向量基本定理是将平面向量任意化归为确定的线性组合的理论依据，是由几何到代数的桥梁。希望同学们通过这节课能够体会一个数学定理的产生过程以及发展过程中蕴含的合理的思维方式。

（2）如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，

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则λ+u=________。

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【设计意图】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减法或数乘运算，此题中共线向量定理的应用对解答此类问题起着至关重要的作用。当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的。

（3）在高中数学课程中，向量占有很重要的地位，它是联系代数、几何以及三角函数的重要工具，具有非常丰富的实际背景。平面向量的基本定理既是向量加法、减法和数乘的延续和发展，也是后面学习向量的坐标表示，数量积，向量解决立体几何问题的基础和重要工具，起着承上启下的作用，并且很好地体现了数形结合思想，这也就确立了平面向量基本在向量中的核心地位，同时它也是向量由一维到二维过渡的重要桥梁。