已知R3的两组基α1=（1，0,-1）T，α2=（2，1，1）T，α3=（1，1，1）T与β1=（0，1，1）T，β2=（-1，1，0）T，β3=（1，2，1）T。
（1）求基α1，α2，α3到基β1，β2，β3，的过渡矩阵；
（2）求y=（9，6，5）T在这两组基下的坐标；
（3）求向量ó，使它在这两组基下有相同的坐标。
正确答案及解析
正确答案
解析
（1）设从基a1，a2，a3，到基β1，β2，β3的过渡矩阵为C，则（β1，β2，β3）=（a1，a2，a3）C，则
（2）设γ在基a1，a2，a3下的坐标为（y1，y2，y3）T，则有y1β1+y2β2+y3β3=γ，即
解得Y1=0，Y2=-4，Y3=5。设γ在基a1，a2，a3下的坐标为（X1，X2，X3）T，按坐标变换公式X=CY，
有
故γ在这两组基下的坐标分别为（1，2，4）T和（0，-4，5）T。
（3）设
即
则有
所以，仅有零向量在这两组基下有相同的坐标。
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