若f″（x）不变号，且曲线y＝f（x）在点（1，1）上的曲率圆为x2＋y2＝2，则函数f（x）在区间（1，2）内（ ）。
- A.有极值点，无零点
- B.无极值点，有零点
- C.有极值点，有零点
- D.无极值点，无零点
正确答案及解析
正确答案
B
解析
由题意可知，f（x）是一个凸函数，即f″（x）＜0，且在点（1，1）处的曲率
而f′（1）＝－1，由此可得，f″（1）＝－2。在[1，2]上，f′（x）≤f′（1）＝－1＜0，即f（x）单调减少，没有极值点。对于f（2）－f（1）＝f′（ξ）＜－1，ξ∈（1，2）（拉格朗日中值定理）。
又因为f（1）＝1＞0，且f（2）－f（1）＜－1，所以f（2）＜0，由零点定理知，在[1，2]上，f（x）有零点。故应选B项。
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