2021年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）模拟试卷1

高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。

①类比；②映射；③特殊化

①类比；②映射；③特殊化

（1）时代的需要

算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，它渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。从另一个角度看，计算机科学的飞速发展对数学的发展起了极大的推动作用，它开拓了数学研究的领域，丰富了数学研究的方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。

（2）与传统的内容有密切的联系

算法并不是一个十分陌生的内容。虽然在传统的数学内容中没有出现过这个名词，但它的思想反复体现在传统的数学内容中．可以说渗透到了大部分内容之中。

（3）能引起学生的兴趣

算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它们会使学生产生成就感。

（4）对教师没有太大的难度

算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训就能完全掌握。有些教研室和学校采取了一些有效的措施，例如分成小组、分工备课、集体研讨、教案共享，很好地解决了这个问题。

（5）算法将对未来的数学课程产生很大的影响算法进入高中是一件大事，会产生一系列的连锁反应，估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究。

①大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。有一些学校已经开设“算法”的选修课；有的学校把“算法”和相关的课程有机地结合起来。“算法”在大学数学教育中会成为关注的问题之一。

②“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的课题。

③“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强化基本技能，淡化技巧。

④“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。“算法”在数学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。

一、教学分析

三角函数的积化和差与和差化积这两种转化，对于求三角函数值、化简三角函数式以及三角函数式的恒等变换。都有一定作用。在已学过的两角和、两角差的三角函数公式的基础上推导出三角函数的积化和差与和差化积公式较简单，可引导学生自己导出三角函数的积化和差公式。

1.教学目标

(1)知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化。

(2)能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明。

(3)情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点。2.教学重点、难点

本节重点是公式的推导和应用：难点是公式的灵活应用。

二、教学过程设计

1.复习引入

教学内容：复习两角和与差的正弦、余弦公式。

师生互动：让学生将两角和与差的正弦、余弦公式写出来。

(设计意图：复习旧知识，同时为推导积化和差公式作准备。)

2.积化和差公式的推导

教学内容：推导积化和差公式。

师生互动：

教师：考查写出来的两角和与差的正弦、余弦这四个公式，你能否用sin(α+β)，COS(α+β)，sin(α-β)，cos(α-β)来表示cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ，cosαsinβ

学生：两边分别相加和相减除以2可以得到。

教师：这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。

(设计意图：培养学生运用已有知识分析问题和问题探究的能力，同时也使学生认识到了新公式产生的根源。)

3.积化和差公式的应用

教学内容：例题练习。

师生互动：学生做练习题教师巡视检查。

(设计意图：让学生初步学会应用公式。)

4.和差化积公式的推导

教学内容：推导和差化积公式。

师生互动：

教师：从上面的积化和差公式变形可以得到新的公式。左边是和差的形式，右边是积的形式，设α+β=x，α-β=Y，请同学自己将上面的四个公式加以整理，把α，β用x，y表示出来。学生整理后得到和差化积公式。

教师：下面同学们讨论一下如何运用向量的知识来推导和差化积的公式。

组织学生讨论。

教师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差相辅相成，配合使用。

(设计意图：引导学生由积化和差公式推导和差化积公式，在推导过程中运用了代换法进行角的转化。通过组织学生讨论探究，逐步培养学生团结协作的思想品质，提高学生综合运用知识思考问题解决问题的能力。)

5.和差化积公式的应用

教学内容：例题练习 .

师生互动：利用和差化积这四个公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。教师指导学生练习.并检查学生做的情况。在解题过程中注意引导学生思考。

(设计意图：通过例题练习.要让学生明确化积问题对最后结果的要求。对于解题过程的深入探究，有益于启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。)

6.小结

教学内容：从知识、方法两个层面来对本节课的内容进行归纳总结。

师生互动：

(1)本节课重点学习了两组公式，对于公式不要求记住，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决一些求值、化简和证明问题。

(2)把一个式子化为积的形式是一类重要题型，尤其是要注意其最后结果的形式是否符合题意要求。

(3)在公式的推导过程中我们用到了换元法，要注意该方法在解题中的应用。

(设计意图：让学生明确本节课的重点和要达到的要求。)

(1)三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的数学中，以“在这些相交关系中。你认为哪种相交最特殊 ”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的经验。从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。

教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显．学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等都很难觉察到。另外，“线面垂直”的说法不好，至少提出得太早。

另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。

教师丙的引导语“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么～为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。

(2)良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。