2015年下半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）真题

本题主要考查对初中数学课程标准的基础内容的掌握和理解。

《义务教育教学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容的选择要满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。”结合中学教材，可以从“数学内容的广度与深度”、“数学内容需符合学生的特点”、“数学内容需兼顾社会发展的需求”、以及“数学内容与其他学科的需求关系”等几个方面对数学课程内容的确定依据进行阐述。

本题主要考查高中数学课程内容的基础知识以及立体向量的基本性质。

运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学法则的一条重要线索。从数的运算到字母的运算，是运算的一次跳跃。数的运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决一个一个有关数量的具体问题，而字母运算则可以刻画蕴涵规律的一类问题。从数的运算，到向量的运算是认识运算的又一次跳跃。而向量运算更加清晰地展示了“

三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，这对于学生进一步学习其他数学运算、增强学生的运算能力具有基础作用。

分两步进行计算，先选出含有喷绿色烟雾的飞机的概率再选领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率，最后乘起来即得。

(1)数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量力性是指学 生的可接受性。 这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合 学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的提高，逐渐增强理论的严谨 程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。 显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生的心理发展是逐 步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的 渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依据不同的教学 目的和内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。

高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强 调思维的严谨性，允许猜想，辩证地处理好推理的依据和猜想的关系。 由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中我们采用反证法，先假设是有理数。教学中可以由教师给出证明步 骤．让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证

在教学过程中，不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。

以此光线与平面的交点为原点，镜面所在平面为 xOy，平面建立空间直角坐标系，如下图：

则入射光线所在直线过原点且在 yOz 坐标面上，所以入射光线的直线方程为 z=ycota(y>0)。 而反射光线与入射光线关于 z 轴对称，所以反射光线的直线方程为 z=-ycota(y>0)。 而此时法线为 z 轴，故将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，即是绕 z 轴旋转一周。则得出旋转曲面的方程

所以会与老师期望得到的结果不同。 学生二利用两角和正弦公式，后化为解一元二次方程得出两个结果，后也是没有验证结果的正确性。和学生一犯了一样的错误。整体来说学生对三角函数公式掌握的比较牢固，运用的也比较熟练，只是在熟练的基础之上还不能更 好地内化数学思想，即验证结果的成立与分类讨论的应用。 (2)首先请全班同学同桌两人为一组讨论板演同学的答案是否正确，若对，说出解题思路以及解题亮点，若不对应 该如何纠正。时间为两分钟，在此期间教师到学生中间巡场，走进学生，找到学生的疑惑点。然后教师请学生代表 来分析此题，并说出正确结果。因为学生对此知识点掌握相对薄弱，我会在此处着重强调在得到答案之后验证的重 要性，让学生从题目中总结所学到的方法。

(1)我更赞同第二种方案，理由如下： ①本节课定位为“基本不等式”的起始课，它是在学生已经系统地学习了不等式关系和不等式性质，掌握了不等式 性质的基础上进行教学的。学生对于“基本不等式”还处于初步感知阶段，不能一步就理解如何实现基本不等式在 求解简单最大(小)值当中的应用，因此，在“基本不等式”的起始课当中，应当先让学生结合基本不等式的背景和 意义进行自主探索，了解不等式的证明过程，加深印象及存在原因后再学习应用会更好。 ②从新课程标准的要求出发，高中数学课程标准是指导教师进行课程安排、课程设计难易度的标尺，高考

③从教材的编写来看，在基本不等式的这节一开始，是以北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标为问题的背景， 提问学生“你能在这个图中找到一些相等关系或不等关系吗?”利用面积间存在数量关系，抽象出不

应用当中，才提及“基本不等式”在解决实际问题当中是解决最大(小)值问题的有力工具。 因此，从这三点来看，基本不等式的起始课的教学重点应该采用第二种方案，即强调基本不等式的背景、过程及意 义．将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为教学重点。 (2)a2+b2≥2ab 的几何解释是：大正方形的面积大于四个三角形的面积和，当且仅当 a=b 时，等号成立(即正方形的 对角线将正方形分成 4 个等腰直角三角形，正方形的面积等于四个等腰三角形的面积和)。(如图 1 所示)

代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式。 几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以叶 6 为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长； 或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……

认识“基本”二字，是学习基本不等式这一节内容的前提，事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算(即加法 和乘法)所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练 学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方 面人手．才能让学生深刻理解它的本质。