2015年下半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题

本题主要考查数学思想方法和教学原则的基础知识。

数学源于古希腊语，是研究数量、结构、变换以及空间模型等概念的一门科学。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学是研究现实数量关系和空间形式的科学，是研究模式与秩序的一门学科。数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形。两种事物，如果有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然、也必须是抽象的。

抽象性数学抛开客观对象的具体特征，只抽象出空间形式和数量关系进行研究，这就是数学的抽象性。数学的抽象性表现为数学研究对象的抽象性以及数学研究方法的抽象性，举例说明。

本题主要考查对初中数学课程标准的基础内容的掌握和理解。

《义务教育教学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容的选择要满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。”结合中学教材，可以从“数学内容的广度与深度”、“数学内容需符合学生的特点”、“数学内容需兼顾社会发展的需求”、以及“数学内容与其他学科的需求关系”等几个方面对数学课程内容的确定依据进行阐述。

以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下图：

分两步进行计算，先选出含有喷绿色烟雾的飞机的概率再选领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率，最后乘起来即得。

如果函数?(x)满足： (1)在闭区间[a，b]上连续； (2)在开区间(a，b)内可导；

拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体形态的有力工具。拉格 朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛，如利用导数来研究函数的某些性质、证明不等式和方程根的存在性、描 绘函数的图象、解决极值、最值等等。

(1)数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量力性是指学 生的可接受性。 这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合 学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的提高，逐渐增强理论的严谨 程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。 显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生的心理发展是逐 步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的 渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依据不同的教学 目的和内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。

高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强 调思维的严谨性，允许猜想，辩证地处理好推理的依据和猜想的关系。 由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中我们采用反证法，先假设是有理数。教学中可以由教师给出证明步 骤．让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证

在教学过程中，不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。

(1)在导入过程运用了温故知新导入，优势是可以帮助学生复习已经学习过的知识。从学习过的知识当中找到前后 联系，从而引出新课题，帮助学生快速进入课堂。在新课教学过程中让学生通过动手操作画出反比例函数图像．但是在引导学生运用列表法的时候选出的点不够有代 表性，x 轴不能都是整数，可以随机地选取一部分分数，为下边讲解函数图像是一条光滑的曲线做准备。 另外在此过程中利用现代教学手段，计算机演示是一种很好的教学方法，可以很直观地将函数图像的动态画面展示 给学生，方便学生建立数形结合的意识。 第三步，组织学生观察讨论曲线特点，根据选取图像中若干特殊点，总结在第一象限以及第三象限的变化情况。 (2)反比例函数图像的特点是光滑的曲线，而不是折线，这是区别一次函数图像最大的特点。首先我会请学生分小 组讨论这个问题。如果反函数的图像的点是用折线连起来会是什么图形，用曲线连起来会是什么图形。 给学生 3 分钟时问讨论，在讨论的过程中我会给与学生提示，我们选取的点是有限的，其实反比例函数的点是无数 个的，为什么正多边形的边无限增多就变成了光滑的圆。讨论结束有小组代表回答，鉴于这个问题有难度，在学生 回答结束之后我会给予详细的讲解：反比例函数的图像可通过描点法给出，折线是由若干直线组合而成，而直线必 须对应一个一次函数，显然反比例函数不能对应到一次函数上，所以它不是折线，而是曲线。另外我们只是描了图 像上少数的几个点，图像构架比较空，所以自然地认为看起来应该用折线连，如果多描几个点，多到密密麻麻的情况，就会明白其实这个就和“正多边形边数越多越接近圆。圆就是正多边形边数无限大时的情况”的道理是一样的。 逐步提升学生有限无限思想。 (3)在此环节我将组织学生通过选取若干特殊点进行比较，独立思索曲线的变化情况，并鼓励学生大胆说出自己的 想法，并给予鼓励，已达到锻炼学生从数学模型中抽象出数学结论的能力，对于数学图像的变化得到初步的锻炼以 及提升。

(1)平行四边形性质的三维教学目标如下： 知识与技能：知道平行四边形的概念，探索并证明平行四边形边、角的性质定理，发展分析推理思维能力。 过程与方法：经历对平行四边形性质的探索过程，明确性质的条件和结论，并能运用性质解决问题。 情感态度与价值观：在合作探究中体会解决问题的快乐，提高实践能力和合作交流能力。 (2)发现探究平行四边形性质的流程： 流程一： 首先，引导学生以四人为一个学习小组，自主根据平行四边形的定义任意绘制平行四边形并观察。 其次，通过多媒体以问题串的形式呈现出以下问题：“除了两组对边分别相等，它的边之间还有什么关系? 它的角之间有什么关系?量一量，检验一下与你的猜想一致吗?”让学生组内讨论分析。 最后．在学生探究并讨论结束后，请一两个小组代表汇报本组的发现，教师适时予以引导，得出猜想：平行四边形 对边、对角相等。

流程二： 首先：通过多媒体呈现问题“小明同学用量角器量出平行四边形的一个内角是 77°，就说知道了其余三个内角的度 数；用直尺量出了一组邻边的长分别为 40 cm 和 45 cm，就说知道了这个平行四边形的周长。你知道小明同学是怎 么计算的吗?”引导学生以学习小组的形式进行讨论。 其次，讨论结束后，请几个小组代表汇报本组的观点，教师将观点进行总结归纳，与学生一起得出猜想：平行四边 形对边、对角相等。 (3)平行四边形性质证明的教学流程如下： 首先，通过问题(2)中的任一流程得出平行四边形的性质猜想：平行四边形对边、对角相等。 其次，口头提出任务“得出猜想后，能否用文字和符号语言将其证明出来?”并给予学生一定的时间，让其先不看 书中证明步骤利用之前所学知识进行自主证明。此时，教师走到学生中间，必要时予以点拨，比如添加辅助线，先 证明两三角形全等等内容。 再次，请三个小组的代表到黑板上板书本组的证明过程，教师与其他小组一起分别点评之后，一起总结归纳出平行 四边形关于边、角的性质定理——平行四边形的对边以及对角相等。再与学生一起对证明过程中所需要用到的转化 思想(通过证明三角形全等来证明对边、对角相等)进行总结归纳。 最后，再让学生将自己的证明过程与书中过程进行比对，不够合理之处予以修正。