2013全国硕士研究生招生考试《数学1》真题

由题意可知矩阵C为2×2阶矩阵，故可设

求所有矩阵C，即求出方程组①的通解。对方程组①的增广矩阵进行行初等变换：

由于方程组①有解，故有1+

【分析】利用幂级数可逐项求导的性质，验证(Ⅰ)成立；解微分方程求出S(x)，注意初值条件的使用.

【证明】(Ⅰ)因为f(x)是区间［-1，1］上的奇函数，所以f(0)=0.

因为函数f(x)在区间［0，1］上可导，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得

f(1)-f(0)=f'(ξ).

又因为f(1)=1，所以f'(ξ)=1.

(Ⅱ)【证明】(方法一)因为f(x)是奇函数，所以f'(x)是偶函数，故f'(-ξ)=f'(ξ)=1.

令F(x)=［f'(x)-1］e^x，则F(x)可导，且F(-ξ)=F(ξ)=0.

根据罗尔定理，存在

使得F'(η)=0.

由

(方法二)因为f(x)是［-1，1］上的奇函数，所以f'(x)是偶函数，

令F(x)=f'(x)+f(x)-x，则F(x)在［-1，1］上可导，且

F(1)=f'(1)+f(1)-1=f'(1)

F(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f'(1)-f(1)+1=f'(1)

由罗尔定理可知，存在η∈(-1，1)，使得F'(η)=0.

由F'(x)=f(x)+f'(x)-1，知

f(η)+f'(η)-1=0，f(η)+f'(η)=1.

(方法三)因为f(x)是［-1，1］上的奇函数，所以f'(x)是偶函数，f(x)是奇函数，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1.

令F(x)=f'(x)+f(x)-x，则F'(x)=f(x)+f'(x)-1，

F'(ξ)=f(ξ)+f'(ξ)-1=f(ξ)

F'(-ξ)=f(-ξ)+f'(-ξ)-1=-f(ξ)

当f(ξ)=0时，f(ξ)+f'(ξ)-1=0，即f(ξ)+f'(ξ)=1.结论得证.

当f(ξ)≠0时，F'(ξ)F'(-ξ)=-［f(ξ)］^2<0，

根据导函数的介值性，存在，使得F'(η)=0.即f(η)+f'(η)-1=0

故f(η)+f'(η)=1.

【评注】本题是一道微分中值定理的证明题，其难点在于(Ⅱ)中辅助函数的构造.欲证f(η)+f'(η)=1，只要证f(η)+(f'(η)-1)=0，即，因此，应考虑辅助函数F(x)=［f'(x)-1]e^x；另一种思路是欲证f(η)+f'(η)=1，只要证f(η)+f'(η)-1=0，因此，应考虑辅助函数F(x)=f'(x)+f(x)-x.

方法三中用到达布定理即(导函数的的介值性)，这个定理不是<考试大纲》要求的考试内容，部分考生给出了此种解法，只要书写正确，不影响得分.

【分析】利用定义求旋转曲面∑的方程；利用三重积分求Ω的形心坐标.

【分析】

Y是随机变量X的函数，只是这函数是分段表示的，这样得到的Y可能是非连续型，也非离散型，

【解】(Ⅰ)设Y的分布函数为FYy)，显然P{1≤Y≤2}=1，所以，

当y<1时，FY(y)=P{Y≤y)=0；

当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{Y<1}+P{Y=1}+P{1

当2≤y时，FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤2}=1.

总之，Y的分布函数为

(Ⅱ)因为Y=