设n位二进制数(从00…0到11…1)中不含连续三位数字相同数共有F(n)个，显然F(1)=2，F(2)=4。以下选项中有一个公式是正确，通过实例验证选出是( )。
- A.F(n)=2n (n≥1)
- B.F(n)=n2-n+2 (n≥1)
- C.F(n)=F(n-1)+4n-6 (n≥2)
- D.F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
正确答案及解析
正确答案
D
解析
本题考查数学应用(排列组合)基本能力。
当n=3时，除3位全0或全1外，其他情况都是不含连续3位数字相同，因此F(n)=8-2=6。当n=4时，除0001、1000、0000、1110、0111、1111外，其他情况都不含连续3位数字相同，因此F(n)=16-6=10。
供选答案A、B、C、D中，对于n=1～4，F(n)值如下：
因此，可以选出公式D是正确。
当n=5时，除000**、1000*、01000、11000；111**、0111*、00111、10111外，其他情况都是不含连续3位数字相同，因此，F(n)=32-16=16。
进一步计算表明，n≥3时，n位二进制数中不含连续三位数字相同数中，末两位数字不同数有F(n-1)个，末两位数字相同数有F(n-2)个。
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