设A为n阶矩阵，则A以零为其特征值是A为奇异矩阵(即 A =0)的:
- A.充分非必要条件
- B.必要非充分条件
- C.既非充分也非必要条件
- D.充分必要条件
正确答案及解析
正确答案
D
解析
提示:可通过下面证明说明。充分性:若矩阵A有特征值0→矩阵A奇异(即 A =0)，若λ=0为矩阵A的特征值，则存在非零向量a，使Aa=0a，Aa=0，即齐次线性方程组Ax =0有非零解，故 A =0，故矩阵A为奇异矩阵。
必要性:若矩阵A是奇异矩阵，即 A =0→λ=0是矩阵A的特征值，已知A是奇异矩阵， A =0，取λ=0，有 A-λE = A-0E= A =0，λ=0，满足特征方程 A-λE =0，故λ=0 是矩阵A的特征值。
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