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对有向图进行拓扑排序的方法是：

（1）初始时拓扑序列为空；

（2）任意选择一个入度为0的顶点，将其放入拓扑序列中，同时从图中删除该顶点以及从该顶点出发的弧；

（3）重复（2），直到不存在入度为0的顶点为止（若所有顶点都进入拓扑序列则完成拓扑排序，否则由于有向图中存在回路无法完成拓扑排序）。

函数int*TopSort(LinkedDigraph G)的功能是对有向图G中的顶点进行拓扑排序，返回拓扑序列中的顶点编号序列，若不能完成拓扑排序，则返回空指针。其中，图G中的顶点从1开始依次编号，顶点序列为v1，v2，…，vn，图G采用邻接表表示，其数据类型定义如下：

#define MAXVNUM 50/*最大顶点数*/

typedef struct ArcNode{/*表结点类型*/

int adjvex;/*邻接顶点编号*/

struct ArcNode*nextarc;/*指示下一个邻接顶点*/

}ArcNode;

typedef struct AdjList{/*头结点类型*/

char vdata;/*顶点的数据信息*/

ArcNode*firstarc;/*指向邻接表的第一个表结点*/

}AdjList;

typedef struct LinkedDigraph{/*图的类型*/

int n;/*图中顶点个数*/

AdjList Vhead[MAXVNUM];/*所有顶点的头结点数组*/

}LinkedDigraph;

例如，某有向图G如图4-1所示，其邻接表如图4-2所示。

中级软件设计师,历年真题,2010年上半年（下午）《软件设计师》真题

图4-1有向图G

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函数TopSort中用到了队列结构(Queue的定义省略)，实现队列基本操作的函数原型如下表所示：

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【C代码】

int*TopSort(LinkedDigraph G){

ArcNode*p;/*临时指针，指示表结点*/

Queue Q;/*临时队列，保存入度为0的顶点编号*/

int k=0;/*临时变量，用作数组元素的下标*/

int j=0，w=0;/*临时变量，用作顶点编号*/

int*topOrder，*inDegree;

topOrder=(int*)malloc((G.n+1)*sizeof(int));/*存储拓扑序列中的顶点编号*/

inDegree=(int*)malloc((G.n+1)*sizeof(int));/*存储图G中各顶点的入度*/

if(!inDegree||!topOrder)return NULL;

（1）;/*构造一个空队列*/

for(j=1;j＜=G.n;j++){/*初始化*/

topOrder[j]=0;inDegree[j]=0;

}

for(j=1;j＜=G.n;j++)/*求图G中各顶点的入度*/

for(p=G.Vhead[j].firstarc;p;p=p->nextarc)

inDegree[p->adjvex]+=1;

for(j=1;j＜=G.n;j++)/*将图G中入度为0的顶点保存在队列中*/

if(0==inDegree[j])EnQueue(&Q，j);

while(!IsEmpty(Q)){

（2）;/*队头顶点出队列并用w保存该顶点的编号*/

topOrder[k++]=w;

/*将顶点w的所有邻接顶点的入度减1（模拟删除顶点w及从该顶点出发的弧的操作）*/

for(p=G.Vhead[w].firstarc;p;p=p->nextarc){

（3）-=1;

if(0==（4）)EnQueue(&Q，p->adjvex);

}/*for*/

free(inDegree);

if(（5）)

return NULL;

return topOrder;

}/*TopSort*/

【问题1】（9分）

根据以上说明和C代码，填充C代码中的空（1）～（5）。

【问题2】（2分）

对于图4-1所示的有向图G，写出函数TopSort执行后得到的拓扑序列。若将函数TopSort中的队列改为栈，写出函数TopSort执行后得到的拓扑序列。

【问题3】（4分）

设某有向无环图的顶点个数为n、弧数为e，那么用邻接表存储该图时，实现上述拓扑排序算法的函数TopSort的时间复杂度是（6）。

若有向图采用邻接矩阵表示（例如，图4-1所示有向图的邻接矩阵如图4-3所示），且将函数TopSort中有关邻接表的操作修改为针对邻接矩阵的操作，那么对于有n个顶点、e条弧的有向无环图，实现上述拓扑排序算法的时间复杂度是（7）。

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正确答案及解析

正确答案

解析

【问题1】（9分）

（1）InitQueue(&Q)（1分）注：函数名与参数必须完全正确才可得分

（2）DeQueue(&Q，&w)（2分）注：函数名与参数必须完全正确才可得分

（3）inDegree[p->adjvex]及其等价形式（2分）

（4）inDegree[p->adjvex]及其等价形式（2分）

（5）k＜G.n或k!=G.n（2分）

【问题2】（2分）

队列方式：v1 v2 v5 v4 v3 v7 v6（或1 2 5 4 3 7 6）（1分）

栈方式：v1 v2 v5 v4 v7 v3 v6（或1 2 5 4 7 3 6）（1分）

【问题3】（4分）

（6）O(n+e)（2分）

（7）O（n2）（2分）

本题考查数据结构和算法中的拓扑排序算法。

【问题１】

拓扑排序是将有向无环图中所有顶点排成一个线性序列的过程，并且该序列满足：若在有向图中从顶点Vi到Vj有一条路径，则在该线性序列中，顶点Vi必然在顶点Vj之前。

对AOE网进行拓扑排序的方法如下：

①在AOE网中选择一个入度为零（没有前驱）的顶点且输出它：

②从网中删除该顶点及其与该顶点有关的所有边；

③重复上述两步，直至网中不存在入度为零的顶点为止。

在拓扑排序过程中，需要将入度为0的顶点临时存储起来。函数中用一个队列暂存入度为0且没有进入拓扑序列的顶点。显然，空（1）处应填入InitQueue（&Q）。

进行拓扑排序之前，应先求出网中每个顶点的入度并存入数组inDegree[]中，从而将“从网中删除该顶点及其与该顶点有关的所有边”的操作转换为“相关顶点的入度减1”，一旦发现某个顶点的入度变为0，就将其编号压入堆栈。从而将选择入度为0的顶点操作转化为令队头所代表的顶点出队。

根据注释，空（2）处应填入DeQueue(&Q，&w)，实现队头元素出队列的处理。

题中图采用邻接表存储结构，当指针p指向Vi邻接表中的结点时，p->adjvex表示vi的一个邻接顶点，删除vi至顶点p->adjvex的弧的操作实现为顶点p->adjvex的入度减1，因此，空（3）处应填入inDegree[p->adjvex]，当顶点p->adjvex的入度为0时，需要将其加入队列，因此空(4）处也应填入inDegree[p->adjvex]。

空（5）处判断是否所有顶点都加入了拓扑序列，算法中变量k用于对加入序列的顶点计数，因此，空（5）处应填入“k＜G.n”或“k!=G.n"。

【问题2】

使用栈和队列的差别在于拓扑序列中顶点的排列次序可能不同。对于本题中的有向图，在使用队列的方式更下：

（1）开始时仅顶点V1的入度为0，因此顶点V1入队：

（2）队头顶点V1出队，并进入拓扑序列，然后删除从顶点V1出发的弧后，仅使顶点v2的入度为0，因此顶点v2入队：

（3）队头顶点v2出队，并进入拓扑序列，然后删除从顶点v2出发的弧后，仅使顶点v5的入度为0，因止顶点v5入队；

（4）队头顶点v5出队，并进入拓扑序列，然后删除从顶点v5出发的弧后，仅使顶点v4的入度为0，因此顶点v4入队；

（5）队头顶点v4出队，并进入拓扑序列，然后删除从顶点v4出发的弧后，仅使顶点v3和v7的入度为0，因此顶点v3和v7依次入队；

（6）队头顶点v3出队，并进入拓扑序列，然后删除从顶点v3出发的弧后，没有产生新的入度为0的顶点；

（7）队头顶点v7出队，并进入拓扑序列，然后删除从顶点v7出发的弧后，使顶点v6的入度为0，因此顶点v6入队；

（8）队头顶点v6出队，并进入拓扑序列，然后删除从顶点v6出发的弧后，没有产生新的入度为0的顶点，队列已空，因此结束拓扑排序过程，得到的拓扑序列为v1 v2 v5 v4 v3 v7 v6。

使用栈保存入度为0的顶点时，前4步都是一样的，因为每次仅有一个元素进栈，因此出栈序列与入栈序列一致。到第5步时，v3和v7依次入栈后，出栈时的次序为v7和v3，因此得到的拓扑序列为v1 v2 v5 v4 v7 v3 v6。

【问题3】

以邻接表为存储结构时，计算各顶点入度的时间复杂度为O(e)，建立零入度顶点队列的时间复杂度为O(n)。在拓扑排序过程中，（图中无环情况下）每个顶点进出队列各1次，入度减l的操作在while循环中共执行e次，所以总的时间复杂度为O(n+e)。

以邻接矩阵为存储结构时，计算各顶点入度时需要遍历整个矩阵，因此时间复杂度为O（n），建立零入度顶点队列的时间复杂度为O（n）。在拓扑排序过程中，（图中无环情况下）每个顶点进出队列各1次，实现入度减1操作时需遍历每个顶点的行向量1遍（时间复杂度为O(n))，所以总的时间复杂度为O(n2）。

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