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平面坐标系内，有直线L1：y=ax和直线L2：y=-bx（a>b>0），动点（1，0）沿逆时针方向绕原点做如下运动：先沿垂直方向到达直线L1，再沿水平方向到达直线L2，又沿垂直方向到达直线L1，再水平L2…，依次交替沿垂和水平方向到达线L1和L2。这样的动点将（　　）。

A.收敛于原点
B.发散到无穷
C.沿矩形边界稳定地转圈
D.随机运动

正确答案及解析

正确答案

解析

动点的初始位置足（1，0），首先会到达直线L1上的点（1，a），然后到达直线L2上的点（-a/b，a），再到达直线L1上的点（-a/b，-a2/b），再到达直线L2上的点（a2/b2，-a2/b），然后到达x轴上的点（a2/b2，0）。即动点绕一圈后，从x轴上的点1，达到了点a2/b2。由于a>b>0，因此动点在向外漂移，再绕一圈后将到达点a4/b4，绕n圈后将到达到a2n/b2n。当n→∞时，动点将发散到无限。

显然，当a=b时，动点将沿矩形边界稳定地转圈；当0＜a＜b时，动点将收敛于原点。

这个问题是功能耦合系统动态变化的简例。机器系统、有机体系统、生态系统或社会系统都是复杂的功能耦合系统，有些功能随变量的增民而增长，有些功能则随变量的增长而减少（一般小是线性的）。在持续动态变化中，某些系统则会收敛于某种状态；此系统则会发散到无穷；有些系统则会持续地稳定波动（周期性震荡）；有些系统则会呈现非线性波动。通过简例观察动态系统的状态变化，是一种思维方法，也是表述某种哲理的方法。