甲公司股票当前每股市价 40 元， 6 个月以后股价有两种可能：上升25% 或下降 20% ，市场上有两种以该股票为标的资产的期权：看涨期权和看跌期权。每份看涨期权可买入 1 股股票，每份看跌期权可卖出 1 股股票，两种期权执行价格均为 45 元，到期时间均为 6 个月，期权到期前，甲公司不派发现金股利，半年无风险利率为 2% 。
要求：
（ 1 ）利用风险中性原理，计算看涨期权的股价上行时到期日价值、上行概率及期权价值，利用看涨期权 —— 看跌期权平价定理，计算看跌期权的期权价值。
（ 2 ）假设目前市场上每份看涨期权价格 2.5 元，每份看跌期权价格 6.5 元，投资者同时卖出 1 份看涨期权和 1 份看跌期权，计算确保该组合不亏损的股票价格区间，如果 6 个月后，标的股票价格实际上涨 20% ，计算该组合的净损益。 （ 注：计算股票价格区间和组合净损益时，均不考虑期权价格的货币时间价值 ）
正确答案及解析
正确答案
解析
（ 1 ）第一步：求上行下行概率
2%= 上行概率 × 25%+ （ 1- 上行概率 ） × （ -20%）
求得：上行概率 =0.4889
下行概率 =1-0.4889=0.5111
第二步：求期权到期日的期望价值
上行时：股价 =40 × （ 1+25%） =50 （元）
到期日价值 =50-45=5 （元）
下行时：股价 =40 × （ 1-20%） =32 （元）
到期日价值 =0
看涨期权到期日的期望价值 =5 × 0.4889+0 × 0.5111=2.4445 （元）
第三步：利用无风险利率进行折现
看涨期权价值 =2.4445/1.02=2.4 （元）
由平价关系 C+PV （ X） =S+P
2.4+45/1.02=40+P ，求得看跌期权价值 =6.52 （元）
（ 2 ）同时卖出 1 份看涨期权和 1 份看跌期权是空头对敲策略，股价偏离执行价格的差额必
须小于期权费，才能给投资者带来净收益
卖出期权收到的期权费 =2.5+6.5=9 （元）
执行价格 =45 （元）
净损益临界点 =45 ± 9=36 和 54 （元）
因此，确保该组合不亏损的股票价格区间为 36 元～ 54 元
股价上涨 20% ，即股价 =40 × （ 1+20%） =48 （元）
则组合净损益 =- （ 48-45） +9=6 （元）。
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